La ih'fl'êrentii'lle (l'une fonction )te change poînl , encjènèral, 

 de grandeur, mais seulement de signe, lorsque la dilfèrentielle 

 de la variable change de signe sans changer de grandeur. 



On pourrnit croire, nu premier aijord, que ce tliéorèine, en 

 quelque sorle évideul, est toujours hi conséquence immédiate et 

 nécessaire de l'équafion fondamentale 



f'/y = t"{^) ' ^^^ ; 



ce serait aller trop loin. La dérivée f'[x) peut |)rendre accidentelle- 

 ment deux déterminations différentes, selon qu'à partir de l'ori- 

 gine fixée par la valeur particulière attribuée à x, cette variable 

 change en croissant ou en décroissant; c'est ainsi, par exemple, 

 que si , sans cesser détre continue, la fonction y = f{x) représente 

 le contour dun polygone quelconque, la dérivée f''(x) affecte en 

 général deux valeurs distinctes pour tous les sommets de ce poly- 

 gone. Les points susceptibles de fournir ainsi des valeurs multiples 

 sont nécessairement séparés les uns des autres par des inter- 

 valles plus ou moins grands. La discontinuité qui se manifeste en 

 ces points n'est que l'interruption accidentelle de la continuité qui 

 subsiste en dehors. 



Considérons l'équation générale 



y = f(^h 



comme représentant une ligne s rapportée h deux a\(\s coordon- 

 nés rectangulaires et décrite par un point mobile /u. 



Le rapport des vitesses dy et dx, égal à la dérivée /''(x) n'est 

 autre chose que la tangente de l'angle que la directrice du point ^a 

 fait avec Taxe des x. Il peut arriver pour certaines positions du 

 point /u que la directrice change brusquement de direction. II est 

 évidemment absurde et impossible quil en soit ainsi constamment 

 sur une étendue quelconque de la ligue décrite. 11 faut donc néces- 

 sairement que cette direction soit, en général , constante ou bien 

 continûment variable. Dans un cas, connue dans l'autre, la direc- 

 trice n affecte jamais pour une même position du point ^c^ qu'une 



