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seule et même détermination nppliealile à la lois aux deux sens 

 suivant lesquels le point fx. peut se mouvoir dans la description de 

 la ligne s. Il s'ensuit que la dérivée f\x] ne comporte, en géné- 

 ral, ])Our chaque valeur de x qu'une seule et même valeur, indé- 

 p(Mulanle du sens dans lequel s'effectue la génération que l'on 

 considère. De là résulte comme conséquence le théorème formulé 

 ci-dessiis. Voici, d'ailleurs, les solutions très-directes et très- 

 simples fournies par ce théorème pour les cas traités précédem- 

 ment. Elles sont un exemple des ressources qu'il offre dans les 

 différents cas d'application. 



Soit C l'aire engendrée par le rayon vecteur 0;>i qui tourne 

 F](j. 14. autour du point et dont l'extrémité se meut 



sur la ligne amb. 



Du point comme centre, avec le rayon 



Ow = r, décrivons l'arc de cercle rme. Si le 



point 7H se déplaçait en restant sur cet arc, on 



aurait évidemment 



et par conséquent aussi 



(I) dV = -de, 



Cela posé, lorsque le point m sort du lieu qu'il occupe en 

 restant sur la ligne amb y selon qu'il va de m vers b ou de m vers 

 «, il estvisihlc que la différentielle rfU ne peut être, ni moindre 

 dans le premier cas, ni plus grande dans le second, (jue la quan- 

 tit(i l! f/o. Or, on général, elle a même valeur absolue dans cha- 

 cun de ces deux cas. 11 faut donc nécessairement quelle soil égale 

 à ^ de. On voit ainsi que l'équation (1), étahlie d ahord dans 

 l'hypothèse r = cons'% suhsiste, en général, pour le cas où le rayon 

 vecteur Om varie incessamment. 



Désignons par r la partie du rayon vecteur Om limitée à la ligne 



