Reprenons la formule (5) du n° 57, page 95 , 

 (1). . (cos X -f- l/' — 1 . sin x)"' =^ cos mx -h 1/ — 1 . sin ?«.r , 



et supposons que l'exposant m soit entier et positif. Le développe- 

 ment du binôme (cos x -i- 1/ — l.sin a:)"' est limité en ce cas, et 

 il s'effectue suivant la formule (1) du n" 17, page 40. Égalant de 

 part et d'autre les parties réelles et imaginaires on a généralement 



i m {m — I ) 



I cos mx = cos'" X cos'"-'^ (x) sin'^ x 



\ m(m — i)(in — ^)(7}i — 5) 

 ,.^ ' -^ 7~^ — ^-^ cos"'-*a; . sin^x — etc. 



(2) < 1.2.0.4 



I sin mx = m cos"'~ * x . sin x 



f m {m — i ) {m — 2) 



\ 1.2.5 



cos'" "x sur X -+- elc, 



S'agit-il, au contraire, de développer une puissance quelcon([ue 

 entière et positive de cos x ou de sin x en fonction des cosinus et 

 sinus des arcs multiples? On peut poser 



/-x j ?/ = cos X ■+- V — l . sin X, 



= Q0sx — V — 1 . sin X, 

 ce qui donne, d'abord, 



(4). ?/ H- r = 2 cos X, y — ^ = 21/ — 1 . sin x, fj~=l 

 puis, eu égard à ré({uation (i). 



y" -^z" = ^2 cos nx , y" — j:" = 2 V"~ 1 . sin nx. 



On déduit de là 



2'" cos"' X = {y H- z)'" = iy'" h- z'") h- myz (y'"~' -t- -"'-^^) 



m (m — 1 ) „ _ 

 + —j-^yV{y"-' + z"-') + fie , 



