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Dans le cas parliciilicr où l'on fait r = I , les équations (7) de- 

 viennent 



(8). . L(l) = i>m-i/^~[, L(— l) = (2m-+- \)nY^^^. 



Les formules auxquelles nous venons de parvenir expriment 

 quil existe pour chaque nombre pris positivement ou négativement 

 une infinité de logarithmes distincts, tous imaginaires à l'exception 

 d'un seul. Voici comment ce résultat s'explique et doit être entendu. 



On a l'équation (6) comme expression des conventions admises, 

 et de l'extension que comportent les règles du calcul algébrique. 



Cela posé, imaginons qu'on fasse varier la quantité ô à partir de 

 zéro, en l'assujettissant soit à croître, soit à décroître indéfiniment. 

 L'identité qui subsiste entre le binôme cos 6 -t- [/— 1 sin 6, et le 

 développement de rexponeutielle e »^~* , montre que chacune 

 des valeurs de ce développement correspond à une infinité de va- 

 leurs de Targumcnt ô, celles-ci n'étant assujetties qu'à la seule 

 condition de comprendre entre elles un nombre entier de circon- 

 férences. Si donc on prend en particulier l'une quelconque des 

 valeurs affectées parle développement et que, conservant au dé- 

 veloppement son expression générale, on légale à cette valeur, il 

 est visible que l'équation résultante comprend nécessairement une 

 infinité de racines toutes différentes les unes des autres. Ce sont 

 ces racines que le second membre de léquation (6) met en évidence 

 alors que le premier repasse par les mêmes valeurs. L'on a, d'un 

 côté, l'argument ô qui change incessamment et qui prend ainsi 

 successivement toutes les déterminations possibles; de l'autre, on 

 a une fonction circulaire de l'argument 0, laquelle n'affecte jamais 

 qu'une valeur unique pour toutes les valeurs de l'argument qui 

 diffèrent entre elles dun nombre entier de circonférences. 



Relations existant entre les puissances du sinus et du cosinus 

 d'un arc y et le sinus et le cosinus des arcs multiples. 



40. Faisons >()ir par (picbpies applications les avantages que 

 j)cnl offrir . en cci'lains cas, la considération des imaginaires. 



