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L'cqiialion (4) suttîl pour établir Ja proprictt' cai'a('lci*i8li(|Ucdos 

 logarillinies et pour pcrnictlrc d'étendre au cas général d'un ex- 

 posant quelconque les règles établies j)0Ln' le cas des exposants 

 réels. 



Soit 



(5) X =^ p -\- qV — \, 



Si l'on pose 



r = V/î?'^f/, = arc tg ^ . 



V 



la quantité r étant positive, l'équation (a) devient, ainsi qu'on l'a 

 vu au n" 24, 



X = r [eos 4- V^^.sin o] = re^^ "'. 

 Considérons l'expression 



y(-<)V^^= r [eos -+- V'-~ 1. sin 0] , 

 à laquelle se ramène toute expression imaginaire de la forme 



On a 



(0). . Lr.e^^^'--'^ Lr [eos o -t- l/'^.sin (j]^Lr -\- oV — \, 



Lr étant le logaritbme aritbmétique du nombre r. 



Désignons par m un nombre entier quelconque, positif ou né- 

 gatif, et i)osons successivement Q='-lm ;r, 0=-(2 m -i- 1) tt. De là 

 résulte 



(7) L(>') = Lr -4- ^mi: V^''- T, L(- r) ■= L/- + (;2^». -^ 1 Jtt ï/1^ 



ce (jui donne une infinité de valeurs toutes imaginaires, une 

 seule exceptée, celle qui correspond à ni= o dans la première des 

 formules (7). 



Tome XV. 7 



