( lyo ) 



L'hypothèse que nous venons de faire se réalise toutes les fois 

 que la fonction ^(x) est la dérivée d'une fonction élémentaire. De 

 là une série d'applications dont il suffît d'indiquer les suivantes. 



La dérivée de la fonction étant, en «énéral, a;'", il s'en- 



suit que dans le cas d'une courbe MlN représentée par léquation 



il vient immédiatement 



/\.,. [X -+- -^i^j X 



(1). . . ûA-:A.rMr 'x"' = 



m -+- 1 



Soit m positif. La quadrature prise entre les limites o cl x 

 donne 



ni H- I m -\- I 



Désignons par X la valeur x -+- ^x et ])ar Y la valeur corres- 

 pondante {x -+- Ax)'"; l'équation (I) se réduit à la forme très- 

 simple 



XY — x// 



A A 



m -+- I 



Lorsque m est négatif et égal à 1, la formule (I) tombe en 

 défaut. Cela tient à ce que ce n'est plus une fonction algébrique, 

 mais bien la fonction logarithmique Lx , qui a pour dérivée-- 

 En ce cas on a , dune part, 



1 

 •^ X 

 et, d'autre part, • 



JL- \ X I 



Les dérivées des fonctions sin x et &" étant respectivement 



