( I!'-' ) 

 On a donc, en incinc temps, 



d\=^ ij . mq = mp . mq^ dH = £ . inp = mq . mp. 

 De là résulte 



et, eu égard à l'égalité constante de ces deux vitesses simul- 

 tanées, 



On voit ainsi qu'en désignant par in^ ni deux points de la ey- 

 cloïdc, et \yà¥ j),p' , q, q' les projections de vas points sur les droites 

 QR et ab , il y a toujours équivalence entre l'aire mm'p'p et la 

 porlion du demi -cercle amb (pii se trouve interceptée par les 

 droites mq, m'q'. 



S'agit-il de l'aire totale comprise entre la cycloïdc et la droite 

 LP pour une révolution tout entière du cercle roulant? Le rec- 

 tangle construit sur le développement de ce cercle pris pour base, 

 et sur le diamètre «6 =^ 2r pris pour hauteur, a pour surface 

 47r/*^. Il faut d'ailleurs en soustraire la surface du cercle amb égale 

 à 7iT^. Il reste donc pour Taire cherchée 3~r'^, c'est-à-dire trois fois 

 celle du cercle roulant. 



Sans rien changer à ce qui précède, représentons-nous le cercle 

 amb comme demeurant fixe, tandis que le point m décrit la cy- 

 cloïdc et sort de sa position actuelle avec la vitesse mh. 



Le point m entraînant par hypothèse la droite m(i, soit (x le 

 point où cette droite coupe la demi circonférence a)nb. Les points 

 m et [j. sont actuellement en m: dans leur mouvement simultané 

 l'un décrit la cycloïdc, l'autre la demi-circonférence amb; tous 

 deux d'ailleurs restent sur la droite mq qui se meut avec le point 

 m^ sans changer de direction. 11 suit de là que la vitesse du i)oint 

 fx. se projette sur ab comme celle du [)oinl }n, c'est-à-dire en qb. 

 Tirons le rayon cui et, du j)oint b, abaissons sur vtn hi per])cndicu- 

 laire be, qui coupe en l la droite mq. Diiigée suivant la tangente 

 en m au cercle amb, la vitesse du point fx est parallèle à bc. >'ous 



