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s'appliquent exclusivement au cas où la dérivée /'(l) change de 

 signe en passant par zéro. En général on a , conformément à 

 l'identité (6) du n" 22, page 57. 



F (x =b // , y ±k) — ¥ (x, y) = do h m' ¥,(x zb Im , y d= ku) 

 =h k Mo F^ (x àz hii, y ± ku)^ 



et, s'il s'agit d'un changement de signe que la dérivée subisse en 

 passant par la forme - , c'est à cette dernière formule qu'il faut 

 avoir recours, en procédant comme au n"51 .La question se compli- 

 que ici de la présence simultanée de deux fonctions dérivées suscep- 

 tibles de prendre en même temps ou séparément la forme - . Tou- 

 tefois , comme on dispose arbitrairement de chacune des quantités 

 h et k et qu'on peut annuler l'une ou l'autre à volonté, il est 

 visible qu'on doit procéder d'abord en opérant ainsi, c'est-à-dire en 

 annulant, l'une après l'autre et séparément, chacune de ces deux 

 quantités. La continuité qui subsiste, par hypothèse, dans la fonc- 

 tion exige que chacun des produits 



h U[ F^, [x db hu ,y), kMlFy(x, y ± k), 



converge vers zéro, le premier avec A /le second avec k. Ce n'est 

 d'ailleurs qu'en passant par zéro ou par l'infini que chacune des 

 deux dérivées partielles F'^(x,3/), ¥'y(x,y) peut, en général, chan- 

 ger de signe. Ce sera donc, presque toujours, en résolvant le sys- 

 tème des équations simultanées 



1 _ 1 _ 



ou 



^^=0, f;(x,,) = o, 



ou bien encore 



F,{x,y)=ro, -7- =0 



