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En divisant j)ar ^^'(/j-Io second membre de l'équation (4), on 

 le ramène à la forme 



Dans le cas du maximum ou du minimum absolu, ce second 

 membre doit satisfaire à la double condition de ne point s'annuler 

 et de conserver un seul et même signe indépendamment de toute 

 valeur particulière attribuée au rapport — - . Il faut donc que 

 l'on ait 



('^) 



r d^ z - ^ /d^z\ /d^z\ 



ce qui exige avant tout que les dérivées partielles [-t-ôJ' (t-t) soient 

 toutes deux de même signe. 



Cela posé, deux cas sont possibles selon que les valeurs obte- 

 nues pour X et y par la résolution des équations (5) satisfont ou 

 non à l'inégalilé (3). Dans le premier cas, il y a maximum ou mi- 

 nimùm absolu , suivant que les dérivées partielles [ l-^j f^j sont 

 négatives ou positives. Dans le second cas, il n\ a plus, en général, 

 que maximum ou minimum relatif, ou bien encore la marcbe de 

 la fonction n'offre rien de particulier. 



Lorsque les trois dérivées du second ordre s'annulent en même 

 temps que les deux dérivées du premier ordre, il faut recourir 

 aux dérivées l'"\f\f'\t)^ etc., et poursuivre le cours des déduc- 

 tions en appliquant les règles du n" 50. 



54. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer en prenant 

 pour exemple une fonction de deux variables 



z^Y[x,y) 



quenco est que les ré:^.ultats se présentent comme nï'lanl applical^les qu'aux 

 sections planes faites dans la surface, perpendiculairement au plan des .r//. 



