( 7S ) 



on suppose que, pour uue valeur a de la variable x, une ou plu- 

 sieurs des dérivées successives f'(x)^ l"[^)') /" (^)î ^t^'-? s'annu- 

 lent en même temps, la première de celles qui ne s'annulent pas 

 étant la dérivée de l'ordre n, f''\x). 



Désignons par h une quantité quelconque prise positivement 

 et aussi petite qu'on veut. 



Si dans la formule (1) des numéros 7 ou 10, pages 22 et 44, on 

 remplace n par n — l,a; par a, et (ju'on ait égard à l'égalité 



MT'\z — xf-'f\a;) = IV^-'mI(\ — uY-'p\a -+- ah), 

 on a, en général, l'identité 



(1). A» -t- '') - /■(«) = ,72;:^'zrr) ^'» (* - »)"-7"(«+ "'O, 



et, par suite, 



(2). lia - h) - /•(„) =. :~^Y^) '^'» '' ^ "'""'/'"'" " "'**■ 



Cela posé, voici les conséquences pour toute valeur de h infé- 

 rieure à une certaine limite : 



1° La quantité /'"(a) donne son signe à chacune des deux fonc- 

 tions 



m; (1 — uY-'f"(a -+- uh), mI (I — uf^'f'\u — îih). 



2** Les différences /"(«-+- h) — f{cf), /'{a — h) — /(«) sont toutes 

 deux de même signe ou de signe contraire, selon que l'indice n 

 est pair ou impair. 



3** Pour que la valeur a de la variable x rende maxima ou mi- 

 nima la valeur correspondante /\(f) , il faut qu'elle annule la déri- 

 vée première /'(x), et, si elle annule en même temps la dérivée 

 seconde /""(x) , il faut que la première des dérivées successives 

 qu'elle n'annule point soit dordre pair. 



