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rons plus loin, que, dans les surfaces de révolution, la courbure 

 moyenne soit mesurée en chaque point par la somme des valeurs 

 inverses de la normale et du rayon de courbure de la section 

 méridienne. La déduction formulée ci-dessus comporte cet autre 

 énoncé: 



Lorsque la courbe roulante S est une section conique^ la roulette 

 engendrée par le foyer de cette courbe est la ligne méridienne 

 d'vne surface de révolution à courbure moyenne constante. 



Un certain intérêt s'attachant à la détermination des surfaces 

 dont la courbure moyenne est constante, nous allons compléter 

 ce dernier énoncé, en démontrant la réciproque. 



Le problème à résoudre se pose dans les termes suivants : 

 La roulette décrite par le point m est, par hypothèse, la section 

 méridienne d'une surface de révolution ayant la droite LP pour 

 axe et présentant en chacun de ses points une même courbure 

 moyenne. On doit avoir, en conséquence, 



1 1 



— I — = cons'^ 

 r p 



ou ce qui revient au même, en vertu de l'équation (9) du n'' 9G, 

 page 245 , 



r -t- r' = cons'^ 



Cela posé, il s'agit de déterminer ce que doit être la ligne rou- 

 lante S pour donner la roulette cherchée. 



Plusieurs cas sont possibles selon que l'angle mna est supérieur, 

 inférieur ou égal à l'angle nam\ 



Considérons en premier lieu le cas où l'angle m7ia est plus 

 grand que l'angle nam', et où, par conséquent, les deux points 

 m, m' sont situés d'un même côté de la droite LP. 



La vitesse du point m peut se déduire indifféremment de cha- 

 cune des deux rotations simultanées établies respectivement, l'une 

 autour du centre instantané «, l'autre autour du centre o de 

 courbure. Si l'on représente par u la première de ces rotations et 

 par îv la seconde, on a , d'abord , et généralement, 



