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Applications. 



107. Soit d'abord à déterminer l'enveloppe des normales à une 

 courbe plane. Nous savons déjà que cette enveloppe n'est autre 

 chose (|uc la courbe désignée sous le nom de développée. On a, 

 d'ailleurs, pour équation générale de la normale, 



(1). . . . . (t --- x) dx -i- (u — y) dy =-- o. 



De là résulte, en différenciant par rapport aux variables x, ?/, 

 et considérant comme constantes les coordonnées courantes t 

 et î(, 



(2). . . {t — x) d^x -h {il — y) d^y = dx^ -f- dy'^. 



Les équations (1) et (2) subsistant avec le même sens qii'au 

 n" 78, page 206 , il est clair qu'elles déterminent en même temps 

 les centres de courbure de la courbe dont on considère les nor- 

 males, et le lieu de ces centres, c'est-à-dire l'enveloppe des nor- 

 males ou la développée. 



Si l'on différencie l'équation (1) par rapport à toutes les varia- 

 bles qu'elle renferme, il vient, eu égard à l'équation (2), 



(5). ...... dldx -+■ du . dy = o. 



En opérant de même sur l'équation 



(4) p'=^{t-i-xf -^{u — yf, . 



qui donne le rayon de courbure en fonction des coordonnées x, 

 y, l, u, on a 



(5). . . . . odo = [t — x) dt -\- (u — y) du. 



Désignons par a l'arc de la développée et posons, en consé- 

 quence, 



(6). . . . r/^ =^ Vd('-\-du-^ dt y l ^- f^)' 



