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parmi les valeurs de rordonnée qui correspondent à une niéiue 

 abscisse et qui sont généralement différentes, il en est plusieurs 

 qui deviennent égales. 



Il est un cas général où la détermination des points multiples 

 se ramène à des règles très-simples; c'est celui des courbes re- 

 présentées i)ur des équations algébriques et rationnelles. Soit 



(i) ¥(x,y) = o, 



une équation de celle espèce. On en déduit 



f/F (IF du 



(-2) j = 0. 



dx dy dx 



Cela posé, s'il s'agit d'un point multiple, il l'aul que les valeurs 

 affectées pour ce point par les dérivées — 5 -— cessent de four- 

 nir une valeur unique pour le coeflicient différentiel ■^- Cette 

 condition ne peut être remplie que dans le cas où ces deux déri- 

 vées s'annulent. Il faut donc que l'on ait en même temps 



dF d¥ 



(5). . . . -^- = 0, -=^0, V[x,y)^o. 



Supposons (|ue l'ensemble de ces trois équations comporte des 

 solutions réelles. La differenliation de Téquation i^l) doinie pour 

 les valeurs correspondantes du coefficient différentiel -t^ . 



d^F d'F du (/-F IdyV 



dx^ dx.dydx dy''- \dxl 



Si le point multiple correspondait à la rencontre en un même 

 point de trois brandies distinctes, on devrait avoir, comme on la 

 vu tout à l'heure, 



d'F _ d-F iFF^ __ 



f/x" ' dxdy ' dy' 



