( 300 ) 



OU bien 



(Pjj ■— f"(x) ifx- < 0. 



Concluons que la courbe est convexe ou concave, par rapport à 

 la droite OX, selon que la dérivée seconde /"(x) est positive ou 

 négative. 



Supposons que cette dérivée soit nulle. La première des déri- 

 vées suivantes, qui ne s'annule pas, peut être de rang pair ou de 

 rang impair. 



Est-elle de rang pair? Elle se substitue à la dérivée seconde 

 l'"{x), et rien n'est changé, d'ailleurs, puisque celle-ci prend le 

 signe de lautrc. 



Est-elle de rang ini})air et })ositive? La dérivée f"(x) est néga- 

 tive en deçà du point m et })Ositive au delà. Il y a donc concavité 

 d'un côté et convexité de l'autre. 



Est-elle de rang impair et négative? La dérivée ["{x) est posi- 

 tive en deçà du point m et négative au delà. C'est donc, en sens 

 inverse , la uièmc conséquence que dans le cas ])récédent. 



Points n'iNFLiixiOiN. — On désigne sous le nom de points d'inflexion 

 les points où la tangente coupe la courbe. Ils se distinguent en ce 

 que la courbe, supposée convexe en deçà de ces })oinls, de\icnt 

 concave au delà, ou inversement. La condition anah tique qui les 

 caractérise est le changement de sigtie qui leur coiTcspond dans 

 la dérivée seconde / (j). On détermine les points d inilexion en 

 posant 



(1) rw-^, 



ou bien encore 



''^ wr'- 



Dans tous les cas, il faut s'assurer que les valeurs déduites pour 

 la variable x de lune ou lautre des équations (I) et (2) ne peu- 

 vent être franchies sans qu'il en résulte un changement de signe 

 de la dérivée seconde f"(^^' 



