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panles no se coupent pas et qu'il en est i^c'néralement ainsi pour 

 tout contact du troisième ordre. 



Soit n = 4. Les développées ont entre elles un contact du troi- 

 sième ordre et, par suite, elles ne se coupent pas. Concluons que 

 les développantes se coupent et qu'il en est généralement ainsi 

 pour tout contact du ([ualrième ordre. 



Le même raisonnement constamment poursuivi conduit évi- 

 demment aux déductions suivantes : 



1° En général, lorsque (Jeux conrhes ont entre elles uu contact 

 d'ordre pair j elles se coupent au point de contact ; 



2° En général, lorscfue deux courfjes ont entre elles un contact 

 d'ordre impair, elles ne se coupent pas au point de contact. 



Considérons une troisième courbe ayant, avec chacune des deux 

 autres et pour le même point, un contact quelconque d'ordre infé- 

 rieur à celui que ces courbes ont entre elles. Si cette troisième 

 courbe pouvait, à partir du point de contact rester com})risc entre 

 les deux autres, il est aisé de voir que sa déveloj)pée remplirait 

 la même condition par rapport à celles des deux premières courbes. 

 Soient, en effet, A, li, C les trois courbes que l'on considère; ?» leur 

 point de contact; A,, B, , C, leurs développées respectives. Le con- 

 tact des courbes A, B, étant au moins du troisième ordre, il s'ensuit 

 (pi'elles ont même courbure en m, et, conformément aux déduc- 

 tions du n" HO^'% page 210, qu'aucune courbe de courbure diffé- 

 rente ne peut passer entre elles. Par hypothèse la courbe C part du 

 point m et reste d'abord comprise entre les courbes A, B. Il faut 

 donc qu'elle ait en m même courbure que ces courbes et, par 

 conséquent aussi, même centre de courbure. Soit o ce centre: 

 les développées A,, B,, C, se touclient au point o, et elles sont 

 situées à partir de ce point d'un même côté de la normale mo * 



' Celle proposition est évidente en ee qui concerne les couvl)es Aj , B, dont 

 le eonlaelen o est au moins du second ordre. Il est d'ailleurs aisé de voir que 

 si la développée Cj était située par rapport à la normale mo du coté opposé à 

 celui des développées A,, B, , la courbure de la courbe C serait croissante à 

 partir du point m du côté où les courbures des courl)es A, B sont toutes deux 

 décroissantes, et inversement. 11 serait donc impossible que la courbe C restât 

 d'abord comprise enli-e l<s coidIm's A, It. 



