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Rangeons les trois premières courbes dans l'ordre où elles se 

 succèdent, à partir du point m'. Si, comme on le suppose, la courbe 

 C reste, d'abord, comprise entre les courbes A, B, l'ordre corres- 

 pondant est A, C, B. Mais, d'un autre côté , la position relative des 

 développées est la même ou l'inverse que celle des développantes. 

 Il faut donc que l'ordre affecté par les développées, à partir du 

 point soit A,, C,, B, ou B,, C, A,. De là résulte évidemment la 

 conséquence formulée ci-dessus. 



Étendons cette conséquence aux développées successives des 

 courbes A, B, C. Soient A2, B.2, C^ les développées des courbes A,, 

 Bi, C,: Aj, B3, C3 celles des courbes A2, B^, C, et ainsi de suite. 11 

 est visible que si la courbe C ne peut rester comprise entre les 

 courbes A, B sans qu il en soit de même de la courbe Cp par rap- 

 port aux courbes A,, B, , la même conséquence s'étend de proche 

 en procbe à toutes les développées successives; la courbe C^ de- 

 vant rester comprise entre les courbes Ao, B.,, la courbe C5 entre 

 les courbes Ar,, B-, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à 

 une développée C„ dont le contact avec les développées correspon- 

 dantes A„, B„ ne soit plus que du premier ordre. Observons ici 

 que le contact des développées A„, B,; est nécessairement d'un 

 ordre égal ou supérieur au second. Elles ont donc même cour- 

 bure, et dès lor-; il devient imj)ossible que la courbe C„ dont la 

 courbure est moindre ou plus grande puisse passer entre elles. On 

 voit ainsi que Ihypotluse d'où l'on est parti implique contradic- 

 tion. De là résulte, en consécpienee, la conclusion suivante : 



Enire deux courbes dont le contact est d'un certain ordre, on 

 7ien peut mener aucune ayant avec elles un contact d'ordre infé- 

 rieur. 



Celte conclusion justifie ce que nous avons avancé au n" 121, en 

 disant du contact de deux courbes, (ju'il devenait de plus en plus 

 intime à mesure que son ordre s'éle\ail. 



1*24. Considérons une coui'be plane A et l'cpréseutons par A,? 

 A2, etc., A„ ses développées successives. 



Soit p le rayon de courbure de la coui'be A ; c, celui de la courbe 

 A,; p.2 celui dr la courbe A.,, et, ainsi de suite, p„ étant le rayon de 



