( ôbi ) 



Supposons, maintenant, que les coordonnées f, u, v soient celles 

 d'un point quelconque «, situe dans le plan Q mené par le point 

 m perpendiculairement à la tangente T. Le point n étant consi- 

 déré comme fixe, tirons la droite qui le joint au point /^. et dési- 

 gnons, par R, la distance comprise entre ces deux points. On a, 

 généralement, 



(4). . . . ^t-xf^{u-yf-^-{v-zf==là\ 



La vitesse qui anime le point ^c, au sortir du lieu m , est perpen- 

 diculaire à la droite /ifx. Il suit de là que la vitesse correspondante 

 (/R est nulle, et qu'il vient , en difFérenciant l'équation (4), 



(o). . . {t — x)dx -h {u — y) (ly -^ [v — z)flz = o. 



L'équation (5) sapplique à toutes les positions que le point n 

 peut prendre dans le plan Q. Elle est donc l'équation de ce plan. 

 Eu égard aux é(iuations (5) du n" ISd, on peut l'écrire sous la 

 forme suivante : 



(6). . . (t~-x)f'(x)-\-[u-~yy(z)-^-v--z = o 



Concluons que les équations (1) et (2) sont celles de la tangente 

 en m à la ligne S, et que celle du plan normal, mené par ce même 

 point, est indifféremment l'une ou l'autre des équations (5) et (6). 



Plan osculateiir. 



4 57. Soit D la directrice du point fx,. Lorsque le point [>. sort du 

 lieu m , la droite D tourne autour du point /Jt, et les vitesses de ses 

 différents points sont toutes dirigées dans un seul et même plan P. 

 Ce plan est, pour le point m , le plan osculateur de la courbe S. 

 Ccst dans ce plan que commence la rotation de la tangente, lors- 

 que le point de contact se déplace continûment. 



Si 1 on désigne, par t, y y v, les coordonnées courantes et, par x, 



