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 Menons par le point n un plan P', parallèle au plan P. Le 

 plan P' est normal, en n, à l'arête S'. Mais, d'un autre côté, le 

 plan N normal, en m , à la ligne S est osculateur, en n, à l'arête S'. 

 Il suit de là que la normale principale au point n de la ligne S' 

 résulte de lintersection des plans N et P', en même temps que la 

 normale principale au point m de la ligne S résulte de l'intersec- 

 tioii du ])lan X avec le plan P, parallèle au plan P'. De là se déduit 

 l'énoncé suivant: 



Las nonnalcs principales qui se correspondent y de part et 

 d autre, l'une pour le point m de la ligne S, l'autre pour le 

 point n de l'arête S', sont toujours parallèles. 



On constate l'accord existant entre cette déduction et les deux 

 propositions précédentes, en observant que s'il y a parallélisme 

 pour deux positions quelconques correspondantes des normales 

 principales, ce parallélisme se maintient nécessairement pour 

 toutes les positions (lui se correspondent de part et d'autre. Le 

 mouvement angulaire d'une normale principale résulte, en effet, 

 de deux rotations simultanées, respectivement établies autour 

 d'axes rectangulaires. L'une est la rotation de la directrice du 

 point décrivant : elle a, pour axe, la perpendiculaire élevée en ce 

 point sur le plan osculateur. L'autre est la rotation de ce plan; 

 elle a , pour axe, la directrice. Or, lorsqu'on passe de la ligne $ à la 

 ligue S', ces axes se substituent l'un à l'autre, en mêjne temps que 

 les vitesses angulaires correspondantes. L'identité résulte de ce 

 double renversement, et le parallélisme établi, par hypothèse, 

 se maintient comme conséquence d'un même mouvement angu- 

 laire. 



140. Soit ^/ un point quelconque du plan N. Tirons la droite 

 indéfinie .a/a', et désignons, pari, le point d intersection de cette 

 droite avec la droite L, suivant laquelle le plan N touche la surface 

 polaire. 



Lorsque le point ^ décrit la courbe S, il entraîne avec lui le 

 plan normal N et le fait tourner autour de la droite L. Le plan IV 

 s'enroule, ainsi , sur la surface polaire, en y appliquant successive- 



