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ment tous ses points, et, en particulier, ceux de la droite p.^' 

 désignés ci-dessus par i *. 



Il suit de là que le lieu des points i, sur la surface polaire, est 

 une développée de la courbe S, la droite /uju' touchant cette déve- 

 loppée au point /, et la quantité, dont le rayon vecteur /xi croît ou 

 décroît, dans le passage d'une position à une autre, étant précisé- 

 ment égale à l'arc de développée compris entre ces deux positions. 



On voit, par ce simple aperçu , fondé tout entier sur des consi- 

 déi'ations géométriques, qu'il existe , en général, pour une courbe 

 (juclconque, une infinité de développées différentes, toutes situées 

 sur la surface polaire et caractérisées, par la condition qu'elles 

 remplissent, de se transformer en lignes droites dans le développe- 

 ment de cette surface. On voit, en même temps, que le lieu des 

 points /u' est, comme celui des points ju, une développante du lieu 

 des points ?*. 



On observera que, abstraction faite du cas des courbes planes, 

 le lieu des centres de première courbure n'est jamais une déve- 

 loppée de la courbe que Von considère. 



En effet, soit o le centre de courbure qui correspond au point m 

 de la courbe S. Pour que le lieu des points o soit une développée 

 du lieu des points m, il faut que la droite om touche, en o, le pre- 

 mier de ces lieux et qu'elle soit normale, en m , au second. Cette 

 dernière condition est toujours satisfaite, puisque la droite om est 

 la normale principale, menée, par le point m, à la ligne S. La 

 première condition exige que, dans le passage d'une position aux 

 suivantes, la vitesse du centre o soit dirigée tout entière suivant 

 la droite om. Or, s'il en est ainsi dans le cas des courbes phuies, il 

 en est autrement dans celui des courbes à double courbure, le 

 centre o restant sur la droite om , et celle-ci tournant , autour du 

 point w , dans le plan normal. De là résulte évidemment la propo- 

 sition énoncée ci-dessus. 



Nous avons vu que le plan N peut être considéré indifférem- 



* La vitesse du point /.i est dirigée tout entière peipendiculairoment au 

 plan normal. Cela revient à dire que ce point reste fixe dans le plan normal en 

 même temps qu'il décrit la courbe S et (ju'il fait tourner la droite /.';«' autour 

 du point I. 



