( 372 ) 



ment, soit comme entraîné par le point a, soit comme roulant, 

 sans glisser, sur la surface polaire. Ce ne sont là que deux façons 

 différentes d'envisager une seule et même chose , le mouvement 

 qui anime le plan N dans sa rotation continue autour de ses ca- 

 ractéristiques successives. Lorsqu'on considère le plan N comme 

 entraîné par le point u , ce point décrit la courbe S et reste fixe 

 dans le plan N. Lorsqu'on considère le plan N comme roulant, sans 

 glisser, sur la surface polaire, rien n'est changé , ni dans le mouve- 

 ment du point iu. sur la courbe S, ni dans la fixité de ce point sur 

 le plan N. Il suit de là que la trace de la courbe S, sur le plan 

 ]uobile N, se réduit à un point. 



Imaginons que le plan N emporte avec lui la trace de chacune 

 de ses caractéristiques successives, et celle d'une développée quel- 

 conque de la courbe S. Si l'on conçoit une droite , supposée mobile 

 dans le plan N, et assujettie à coïncider constamment avec la carac- 

 téristique correspondante, il est visible que l'état de mouvement 

 de cette droite sera identiquement le même que celui de la carac- 

 téristique sur la surface polaire. De là et de ce qui précède, résul- 

 tent évidemment les conséquences suivantes : 



La trace que l'arête de rehroussement de la surface polaire 

 laisse sur le plan mobile a, pour courbure en chaque point, la 

 première courbure de cette arête. 



Les traces laissées sur le plan mobile par les génératrices rec- 

 tilignes de la surface polaire ont, pour enveloppe, la trace de 

 rareté de rehroussement . 



Les traces laissées sur le plan mobile par les développées de la 

 courbe S sont des droites toutes issues d'un seul et même point, le 

 point où se concentre la trace de la développante. 



L'ensemble des traces laissées sur le pian mobile par la surface 

 I)olaire constitue le développement de cette surface. Il est visible 

 que les lignes tracées sur la surface polaire conservent, dans le dé- 

 veloppement de cette surface, leurs longueurs respectives et les in- 

 clinaisons relatives sous lesquelles ont lieu leurs intersections *. 



On veiia plus loin , ii" 207 et sui\autb, la Ihéoiie géométrique dea buiiaces 



