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147. Proposons-nous de déterminer l'équation de la surface 

 polaire et celles de l'arête de rebroussement. 



La génératrice rectiligne de la surface polaire est située dans le 

 plan normal 



(i). . (t — x)dx+(u — y) dy -{- {v — z) dz= 0.* 



Elle est le lieu des points de ce plan dont la vitesse est nulle, ou 

 peut être considérée comme nulle, au sortir du lieu qu'il occupe. 

 Il suit de là que les coordonnées de cette droite doivent satisfaire 

 à l'équation qu'on obtient en différenciant l'équation (1), et en 

 annulant les vitesses dt, du, dv, dans le résultat de la différentia- 

 tion. On trouve, ainsi, 



(2). [t — x] d'x ~f- (u —y) dhj -f- [v—z) d'z^dx^-^ dy^-¥- dz^ = ds\ 



Les équations (1 ) et (2) sont les équations générales de la géné- 

 ratrice rectiligne de la surface polaire. Pour avoir l'équation de 

 cette surface, il suffît d'éliminer les variables x, y, z entre ces 

 équations et celles de la courbe donnée, 



P) ^==A^)» y = 'À^)' 



Le point de l'arête de rebroussement situé sur la droite fi), (2) , 

 se distingue des autres points de cette droite en ce que sa vitesse 

 est nulle, ou peut être considA'ée comme nulle, à l'origine du dé- 

 placement de la génératrice. Il suit de là que les coordonnées de 

 ce point satisfont aux équations qu'on obtient en différenciant les 

 équations (1), (2), et en annulant les vitesses dt, du, dv, dans les 

 résultats de la différentiation **. Lorsqu'on opère, ainsi, on re- 



développables, et, plus généralement, celle des surfaces qui peuvent s'appli- 

 quer l'une sur l'autre, point par point , sans déchirure ni duplieature. 



* Dans cette équation t, u,v, sont les coordonnées courantes; X ,y,z 

 sont celles du point de la courbe par lequel passe le plan normal. 



" On observera que cela revient à différencier les équations (1), (2), en y 

 considérant, comme constantes, les quantités /, u, v. Cette remarque s'applique 

 à tous les cas du môme genre. Elle permet d'opérer directement avec la plus 

 grande simplicité possible. 



