(57S) 

 et l'on en déduit 

 (10). dld^x H- dud^jj -+■ dvd^z = d"t,dx -+- dhidy -\- dh^ .dz. 



L'équation (V)) exprime que les tangentes, en deux points con- 

 jugués de la courbe S et de l'arête S' de rebroussement, sont rec- 

 tangulaires. 



Soient m le premier de ces points , et m' le second. On déduit des 

 équations (5) et (C), 



dt dzdhj — dyd^z du dxdh — dzd'^x 



dr dyd^x — dxcPy dv dyd^x — dxd^y 



Les équations (11) expriment que la tangente, en m' , à l'arête S', 

 est perpendiculaire au plan osculateur mené par le point m de la 

 courbe S. 



La réciprocité qui subsiste, en vertu des équations (5), (6) , (7), 

 s'étend à la proposition précédente. On peut donc dire, aussi, que 

 la tangente, en m, à la courbe S est perpendiculaire au plan oscu- 

 lateur mené par le points' de l'arête S'. 



En combinant les équations (5) et (7), comme on a combiné les 

 équations (5) et (6), on doit trouver évidemment 



dx dvdhi — dud^v dy dtd^v — dvdH 



^'^'* di ^ dudH — dtdhi ' dz ^ dudH — dtd^u ' 



Ces valeurs, substituées dans l'équation (i), donnent 



•» 



(15). {t — x) [dvdhi — dud'v] + {u—y)[dtdh — dvdH] 



-t- {v — z) [dudH — dtdhi] = o. 



L'équation (15) étant celle du plan osculateur mené par le 

 point m' à la courbe S', il en résulte que ce plan n'est autre chose 

 que le plan normal, en m y h la courbe S. 



La combinaison des équations (6) et (7) donne 



dzdvd-zd-v ^= [dxd-t -+- dyd^u] [dtd-x h- dud'y], 



