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sislc, est la projection, sur Je plan des xy, du point su])posé com- 

 mun à la courbe S et h la surface A. 



Le cylindre (:2) coupe la surface (!) suivant une ligne dont la 

 projection sur le plan des zx a, pour équation , 



(5) ^-=f{^,?{^))- 



Cela posé, puisque l'on a, d'une part, les équations de la courbe 

 S, d'autre part, celles de la courbe S' *, il est visible que tout se 

 réduit à vérifier si la ligne représentée par l'équation (5) dans le 

 plan des zx contracte, avec la projection , sur ce plan, de la courbe 

 S, un contact de l'ordre u, et à déterminer la plus grande valeur du 

 nombre n compatible avec cette condition. On ne perdra pas de 

 vue que le point où ce contact doit avoir lieu est la projection, 

 sur le plan des xz^ du point supposé commun à la courbe S et à la 

 surface A. On sait, d'ailleurs, que l'ordre du contact est marqué 

 par le nombre des dérivées successives qui prennent même valeur 

 au point rendu connnun aux lignes que l'on considère. 



Au lieu de s'en tenir à la définition qui précède, on peut dire 

 plus simplement que l'ordre du contact établi entre Une surface 

 et une courbe est marqué par l'indice le plus élevé des différen- 

 tielles successives qui satisfont à la fois aux équalions de la courbe 

 et de la surface. 



Supposons qu'on ait détei'ininé, par les équations de la courbe, 

 les valeurs des différenlielles successives (dx, dy, dz), [d^x , d-ij, 

 d'z), etc., ce qui ne présente aucune difficulté, puisqu'on dispose 

 arbitrairement de l'une des vitesses dx, dy, dz, et qu'on peut l'as- 

 sujettir soit à demeurer constante, soit à varier comme on veut. 

 On substitue ces valeurs dans les équations différentielles de la 

 surface, en opérant d'abord sur l'équation différentielle du pre- 

 mier ordre, puis sur celle du second, et ainsi de suite, aussi long- 

 temps que la substitution reste possible sans incompatibilité. 



* Nous avons fait voir au n'' 126, page 521 , comment on délermine les coel- 

 licients a, b, c, . . .p de manière à établir un contact de Tordre n , entre une 

 courbe donnée dans le plan des xy cl celle que l'équation (2) représente dans 

 ce même plan. 



