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L'ordre de la dernière des équations différentielles , qui peut être 

 ainsi satisfaite, est celui du contact établi entre la courbe et la 

 surface données. 



On observera qu'en suivant ce procédé, il est permis de rem- 

 placer par léciuation (^) celle de la projection de la courbe S sur 

 le plan des xjj, et de prendre, au lieu de l'équation (1), l'équa- 

 tion (ô) qui résulte de la combinaison des équations (1) et (!2). 

 Cette simple remarque suffit pour faire voir que la première défi- 

 nition implique la seconde, et réciproquement. On peut donc ad- 

 mettre indifféremment l'une ou l'autre. Si les conditions qu'elles 

 expriment diffèrent, c'est par la forme et non point par le fond. 



155. Reportons-nous aux considérations développées ci-dessus, 

 en ce qui concerne le cercle osculateur d'une courbe à double 

 courbure et la droite menée par le centre de ce cercle perpendi- 

 culairement à son plan. Toute splière ayant son centre sur cette 

 droite et passant par le point correspondant de la courbe con- 

 tient le cercle osculateur. Elle a donc, avec cette courbe, un contact 

 du second ordre. On comprend dès lors que, parmi ces spbères, 

 il doit, en général, s'en trouver une dont le contact avec la courbe 

 donnée soit plus intime que pour les autres et devienne du troi- 

 sième ordre. La splière, ainsi déterminée, est connue sous le nom 

 de splière osculatrice. Elle est caractérisée parla condition qu'elle 

 remplit d'avoir, pour centre, le point de la polaire dont la vitesse 

 est nulle à l'origine du déplacement de celte droite. Soit 



(1). . . . (t-xy^{u~-yf^(v~-zY=n% 



l'équation de cette slipère; f, w, v étant les coordonnées du centre; 

 R le rayon; x, y, z les coordonnées courantes. De là résulte, pour 

 les équations différentielles des trois premiers ordres, 



i{t — x)(ix + (il — y)dy -* {v — z)dz -^ o , 

 {t — x)cPx-^(n—y)dhj-i. (v — z)dh = ds% 

 {t — X )d^x -i- {u — y )dhj -H ( i' — z)d^z = Ms . d^s. 



Observons que ces équations reproduisent identiquement les 

 équations (1), {% (i) du n'^ 147, page 575. La seule différence con- 



