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sistc en ce que les quantités x, ?/, z sont ici les coordonnées cou- 

 rantes de la sphère, tandis qu'au n" 1 47 elles sont les coordonnées 

 courantes de la courbe. S'agit-il du point commun à la courbe et à 

 la sphère? Les valeurs qu'affectent, en ce point, pour la courbe, 

 les différentielles successives (dx, dy^ dz), [d^x, d^y, d^z), {d^x, 

 d^y, d^z), satisfont, ainsi qu'on le voit, aux équations différentielles 

 de la surface sphérique. Il est donc vérifié que la sphère dite oscu- 

 latrice contracte, avec la courbe, un contact du troisième ordre. 

 On sait, d'ailleurs, que les coordonnées du centre de cette sphère 

 sont déterminées par les équations (2). 



Application des théories précédentes à l'hélice. 



154. Proposons-nous d'appliquer à l'hélice les théories précé- 

 dentes, et procédons, d'abord, par voie géométrique. L'uniformité 

 que présentent ici la première et la deuxième courbure facilite sin- 

 gulièrement toutes les solutions. Elle suffit, d'ailleurs, pour faire 

 voir à priori que l'hélice peut, en contractant, avec une courbe 

 quelconque à double courbure, un contact du deuxième ordre et, 

 en partie, du troisième, remplir, par rapport à cette courbe, pour 

 chacune de ses deux courbures, le rôle assigné au cercle oscula- 

 teur en ce qui concerne les courbes planes. 



Soient une hélice H tracée sur un cylindre droit, à base circu- 

 laire; r le rayon du cylindre; h le pas de l'hélice; a l'angle que la 

 tangente à la courbe fait avec le plan de la section droite. 



Prenons sur cette hélice un point quelconque m , et représen- 

 Fig. 62. ^oiïs, par ma, la tangente en ce point; par mp, la gé- 

 nératrice correspondante; paro/i, l'axe du cylindre; 

 par abop, le plan de la section droite opq. 



Le plan map touche le cylindre suivant la généra- 

 trice mp. Considérée comme située dans ce plan et 

 comme entraînée par lui dans son enroulement sur 

 la surface cylindrique, la droite ma vient appliquer 

 "^ successivement tous ses points sur Ihélice H. 



Représentons-nous le plan nuip à l'instant précis où il sort du 



