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entre elles un contact du deuxième ordre; L la polaire correspon- 

 dante, autrement dit la perpendiculaire élevée en o sur le plan 

 osculateur; i un point quelconque pris sur cette polaire. Il existe, 

 pour chacune des courbes, une développée passant parle point i. 

 Considérons ces deux développées. Klles se touchent en /, suivant 

 la droite im, et leur contact est, en général, du premier ordre. 



Supposons que les développées aient en i un contact du second 

 ordre; le contact des développantes devient plus intime encore, et 

 il est dit du troisième ordre. 



Pour abréger, disons immédiatement qu'un contact de l'ordre 

 [n — I), entre les développées, implique un contact de l'ordre n 

 entre les développantes, et réciproquement. Il suit de là que le 

 contact du quatrième ordre se définit au moyen du contact du 

 troisième ordre, celui du cinquième au moyen du quatrième, et 

 ainsi do suite, indéfiniment. 



Soient 



(I) ^ = A")> .V=r(-) 



les équations d'une courbe quelconque S. Celles de la polaire, qui 

 correspond au point (x, y^z), sont, ainsi qu'on la vu tout à l'heure, 



l{t — x)dx-^ {h —y)dy <- [v — z)dz = o, 

 ( {t — x)d^x H- {u — y)dhj + (u — z)d^z = ds-. 



Considérons les coordonnées t, », v comme étant celles du 

 point d'intersection de la polaire avec Tune des développées de la 

 courbe S. Elles seront les coordonnées courantes de cette déve- 

 loppée, et celle-ci aura, pour tangente, la droite menée par le point 

 (x, y, z) au point (/, h, r). De là résultent les deux équations de 

 condition, 



t — X df u — y du 



(3) 



r — z dv i- — z dv 



Imaginons qu'au moyen des équations (1) et (5), on détermine 

 les coordonnées x, ?/, z en fonctions des variables t, v, v, dt, du , 

 dvy et qu'on transporte les valeurs ainsi obtenues dans les équa- 



