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(ions (2). Ces éqiuUions deviendront celles dune développée qiiel- 

 eonqne de la courbe S. Cela revient à dire que les équations (2) 

 peuvent être considérées comme étant les équations générales des 

 développées de la courbe donnée. Il suffît, pour cela, qu'on les 

 traite en regardant les variables, x, y, z comme des fonctions des 

 coordonnées courantes tj u, v, ces fonctions étant déterminées par 

 les équalions (I) et (ô). Il suit de là qu'on peut substituer aux 

 équations (2) celles qui s'en déduisent au moyen des équations (3). 

 On trouve ainsi 



dt du 



i dx — H- dii — -4- dz = 0, 



\ dv -^ dv 



w 



I diX . h dni . ■ \-d-z = • 



^ dv dv V — z 



Suj)posons, pour plus de simplicité, qu'on prenne la variable v 

 pour variable indépendante. Il est visible que les équations (4) 



déterminent les dérivées premières—? ^, en fonction des quan- 

 tités r, Xj y, Zj f{z). f'{z), f"(z], -/'{z): les dérivées secondes 

 ~a% ' Jl ' ^" lonction de ces mêmes quantités et des dérivées troi- 

 sièmes f"'{z), '/"{z)', et ainsi de suite indéfiniment*, les dérivées 

 de l'ordre (n — i), r ? - — - se trouvant déterminées en fonc- 



^ '' dv»-* rfi"-i 



tion des quantités^, Xjy,z, /'(r), ^\z\ f"{z\ ^"(z), etc., jusqucs et y 

 compris les dérivées de l'ordre n, f"{z), f"{z). La réciproque sub- 

 siste évidemment, c'est-à-dire que si l'on se donne les quantités 



dt du dH d^K d"-H d"-^u 



etc. 



' dv dv dv' dv^ dv''-' dv"-' 



il en résulte une détermination complète des quantités correspon- 

 dantes, x,^, z, r(z), r\^),rV), '/'W, etc., I\z), -/'(r). 



Admettons, pour un instant, qu'un contact de l'ordre n établi 



* Pour obtenir les dérivées secondes -—5 t^î , il suffît de différencier les 



dv^ dv^ ^7.1 f/.-jt 



équations (4). Une deuxième différentiation donne les dérivées —. •> jt^ et 

 ainsi de suite, indéfiniment. 



