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entre doux roiirbcs S, S', implique Tégalité des valeurs que pren- 

 nent, de part et d'autre, toutes les dérivées successives jusques 

 et V compris celles de l'ordre n. D'après notre définition, les dé- 

 veloppantes de ces courbes auront entre elles un contact de l'ordre 

 n -4- 1. D'après les déductions précédentes, elles fourniront des 

 dérivées successives qui prendront, de part et d'autre, mêmes va- 

 leurs, jusques et y compris celles de l'ordre n-\- \. On voit par là 

 que si le contact d'un ordre quelconque n implique la condition 

 que nous avons admise, cette condition s'étend d'elle-même au 

 contact de l'ordre n -4- 1, et, de proche en proche, à tous les con- 

 tacts d'ordre supérieur. 



S'agit-il du contact du premier ordre? La condition énoncée 

 ci-dessus subsiste évidemment. Concluons qu'elle a lieu pour le 

 contact du second ordre et, généralement, pour les contacts de 

 tous les ordres. 



On observera que l'égalité des valeurs que prennent, en un même 

 point, les dérivées qui se correspondent, de part et d'autre, pour 

 deux courbes S, S', jusques et y compris les dérivées de l'ordre /?, 

 implique un contact de cet ordre entre les projections de ces 

 courbes. 11 s'ensuit que, pour établir entre deux courbes à double 

 courbure, un contact d'un ordre quelconque, il est nécessaire et 

 suffisant d'établir un contact de ce même ordre entre leurs pro- 

 jections sur deux des plans coordonnés. La théorie du contact des 

 courbes dans l'espace se trouve ainsi ramenée tout entière à celle 

 du contact des courbes planes. 



449. Nous avons dit du contact de deux courbes qu'il devient 

 plus intime à mesure que son ordre s'élève. Nous entendons, par 

 là, que l'écart qui s'établit entre deux courbes, à partir d'un point 

 commun, commence par être d'autant plus petit que le contact, 

 en ce point, est d'un ordre plus élevé. Cherchons à justifier cette 

 proposition, et, d'abord, établissons les deux lemmes sur lesquels 

 on peut s'appuyer ici, et, en général, pour tous les cas analo- 

 gues. 



Soit X une grandeur quelconque continûment variable; dx, d-x, 

 r/'x, etc., ses différentielles successives, 



La différentielle dx n'étant autre chose que la vitesse d'accrois- 



