( 38i ) 



peut admettre, comme évident, que lecari qui s'établit entre les 

 courbes S, S', à partir du point m, commence par être plus ou 

 moins grand, selon que lécart angulaire des directrices des points 

 a et u.' remplit cette même condition. Désignons par D, D' ces 

 directrices et par -^l'angle qu'elles font entre elles. 



Les courbes S, S' étant tangentes en m, la valeur initiale de 

 l'angle ^ est zéro. 11 s'ensuit que 1 écart angulaire des droites D, D', 

 et, par consé((ucnt aussi, l'écart des courbes S, S' commence par 

 être d'autant i)Ius grand que la première des différentielles succes- 

 sives d-^, iP'Y, (f^f, etc., qui ne s'annule pas, est d'un ordre moins 

 élevé. 



Admettons, comme vérité de définition, que l'ordre du contact 

 établi, en m, entre deux courbes quelconques S, S', soit marqué 

 par l'indice de la première des différentielles successives df, fP^, 

 d^o, etc., qui ne s'annule pas pour v = o; la proposition qu'il 

 s'agissait d'établir se trouve immédiatement démontrée. En effet , 

 le contact étant de l'ordre ?î, la première des différentielles succes- 

 sives qui ne s'annule pas est celle de l'indice n. Or, si l'on substituait 

 à la courbe S' une courbe S", ayant avec la courbe S un contact d'un 

 ordre quelconque p, inférieur à n, la première des différentielles 

 successives df. d^-^ , d^f^ etc., qui ne s'évanouirait pas, pour -^ = 0, 

 serait celle de Tindice p. L'écart des courbes S, S" commencerait 

 donc par être plus grand que celui des courbes S, S'. 



Soient x, ij, z les coordonnées courantes de la courbe S, et x', y\ 

 z\ celles de la courbe S'. On a généralement 



dxdx' -+- dydv' -\- dzdz' 



ds . ds' 



Les vitesses du, ds' étant suj)posées constantes et prises égales 

 à l'unité, on peut écrire, identiquement, 



(dx- dx/y H- (dij — di/f -f- idz - dz'f 



(1 ). cos y = 1 — -^ ^-^ ^-^ ' 



En différenciant deux fois de suite, on trouve, en premier 

 lieu, 



sin tf .df -^ [dx — dx') [d'x — d^x' ) -+- etc. 



