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 On voit, ainsi, que les cciuations de condition 



(9). ... f^Oy d^=-o, d--^=^o, 



inijjliqucnl les sui>antcs : 



/ dx = d.v\ dij = c///', dz = dz\ 



(10). . . \d'x = d'x', dnj = d'u\ d'z = d'z\ 



( d^x ^ d'x ' , d'^y = d'y ' , d^z--=- d^z'. 



et léeiproquenient. 



On trouverait, de même, pour le cas où l'existence des équations 

 (9) implique celle des équations (10), ou inversement, 



[d'^,Y^[d'x-d'x'Y -+- [d'y — d'yf-^[d'z — d'z'f 



et, ainsi de suite indéfiniment, lannulation simultanée de l'angle 

 'j et des différentielles successives dv, d'^j, etc., (/""^j impliquant 

 les équations suivantes, 



[ dx — dx'f -+- [ dy — dy' ]- -^[dz — dz' f=o, 

 [ d-x — d'x' Y -h [ d-y — d^y' J -4- [ d^z — d'z'J == o , 



et réciproquement. On a d'ailleurs, en même temps, 



[(i"yP= [f/"^'a; — (/"+'x'J- -f- [d"-^'ij~d"-^YY -^ [d'^-^'z-d'+^zj. 



On voit, par ce qui précède, qu'il est indifférent de l'aire dé- 

 pendre l'ordre du contact établi entre les courbes S, S' de l'une 

 ou Tau Ire des conditions énoncées ci-dessus. On peut admettre, 

 relativement à cet ordre, qu'il est marqué par l'indice de la pre- 

 mière des différentielles successives df, d'-^, etc., qui ne s'évanouit 

 point, ou qu'il est moindre d'une unité que l'indice de la première 

 des différentielles successives dx, dy, dz, d'x, d^y, li'z, etc., qui 

 cesse d'être égale à celle quilui correspond dans la suite dx, dy', 

 dz',d^x',d'-y',d'z',tii'., ou bien, encore, qu'il est le même que celui 



