{ W3 ) 



On appelle OmhiUcs on points ombilicaux les points singuliers 

 où les sections normales ont toutes même courbure. 



171. Complétons la solution précédente, et, à cet elFet, com- 

 mençons par substituer à la rotation On ses deux composantes 



Si l'on désigne par (x l'angle «0^, et qu'on décompose chacune 

 des rotations Oc, Oe en deux autres établies respectivement, l'une 

 autour de 06, l'autre autour de la perpendiculaire élevée en 

 sur 0/>, on voit aisément que la rotation du plan tangent autour 

 de la directrice du point y. et celle de cette même directrice sont 

 exprimées simultanément, l'une par la somme des premières com- 

 posantes, l'autre par la somme des secondes. De là résulte, en 

 nommant a la rotalion du plan tangent autour de la directrice du 

 point a et en tenant compte des signes des composantes, 



(1) û = Wy.cosa — Wj;.sinrx. 



On a, de même, en désignant par W la rotation de la directrice 

 du point /u, 



(2) W = \\\ cos « -\- W,/. sin a. 



On a, d'ailleurs, 



x=Vcos«, î/ = Vsina, 



et, par suite, p, R, R' étant pour le point les rayons de cour- 

 bure des sections normales OL, OX, OY, 



V ^^^ X V cos ^ ^^T y ^ ^^" ^' 



P 



w=-, w.==- = -_, W,-^,-^ ^, 



Ces valeurs substituées dans l'équation (1) donnent, a])rès ré- 

 duction , 



PI <"'^\i^U- 



s in 2c 



