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 Voit' u/iiili/tifuw. 



{"IG. Soient A cl H deux coiirbos quelconques, situées (Unis un 

 même phui et rapportées à tin même système de eoordonnées. On 

 dit de ees courbes qu'elles ont entre elles un contact de Tordre n, 

 en un point déterminé m, lorsque les eoordonnées de ce point 

 satisfont en même temps aux équations des courbes et à celles 

 qui s'en déduisent par n dilTérentiations successives. 



Supposons les coordonnées reciilignes, et les équations des 

 courbes ramenées h la forme 



ij = f(x), .V = 'r(4 



Si nous développons cliacune de ces fonctions, d'après la série 

 de Taylor, et que nous attribuions à la variable x la valeur cpii 

 correspond au point vi, les courbes ayant en ce point un contact 

 de l'ordre // , on a d'abord, selon la délinition, 



f(x) = -fix) , f'(x) = ./(x), /-(x) -^ J-(x) .... fix) - /'(x). 



et, par suite, conformémcjit à la fornuile (1) du n" 10, * 



(1 ) f(x -+- h) - ç>(x + h) ^ ^- — ^ M, (1 - H)" [f"-^'{x-^rlw) — f"-^\x -i-hu)]. 



Observons ici que, par bypotlièse, la difFérence /""'*' * (x) — -/'^^{x) 

 n'est pas nulle et qu'en consé(juence, elle donne son signe à l'ex- 

 pression s}niboli([ue 



]m1('1 — u)" [/'"-"-'(x -+- hi() — '/'-'(x -+- hu)], 



non pas seulement pour /« = o, mais, en outre, pour toute valeur 



de h qui ne dépasse })as, en grandeur absolue, une certaine limite. 



Cela posé , il est visible que la différence f(x -+- h) — y(x -+- //) 



* Voir au h('t>oiji If iv 16, page 4i. 



