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change ou non de signe avec h, selon que lindiee n est pair ou 

 impair. Voici d'ailleurs la conséquence : 



Les courbes A, D. qHi ont en m tf/i contact de l'ordre n, -se 

 coupent en ce point ou ne s'tj coupent pas, selon que F indice n est 

 pair ou impair. 



Soit C une troisième courbe passant parle point m et a\ant en 

 ce point avec chacune des deux autres un contact d'un ordre p, 

 inférieur à celui (ju'cllcs ont entre elles. Si l'on représente par 



l'équation de cette courbe on a, comme tout à llicure. 



(2) V{x -\- h) - f{x -f- h)=^ ~ m1 (l— uY[f'''\x 4- hu) - f''-^\x -4- hu)] 



\ir..p 



et, en même temps, 



r(a- 4- h) — .(a- -+- h) = 4,-^ ^^'' (1— '0"LF"'"'(x- -+- hu) — /-^'(x -t- hu)] 



les dilTérences F''+' (x) — f''-^' (x), F"-^' (x) - -/+' (x), étant 

 égîdes et ne s'annulant pas. 



Il suit de là que les différences F {x -\' h) — /'{x-i-h), et 

 V {x-^h) ~ 'j(x-hh), supposées nulles au ])oint ni, deviennent 

 en même tem})s toutes deux positiACs ou toutes deux négatives 

 au sortir de ce point. Ce résultat implique la conséquence sui- 

 vante : 



Entre deux courbes dont le contact est d'un certain ordre on, 

 nen peut faire passer aucune aijani avec elles un contact d'ordre 

 inférieur. 



Cette conséquence étant générale et pouvant s'établir à priori 

 pour un s}slème (pielconque de coordoiniécs, il en résulte imj)li- 

 citcment (|uc, si les conditions formulées ci -dessus comme celles 



