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II vient ensuite, comme eonséquenee, cet autre ihéorèmc, qui 

 est celui de M. Dupin : 



Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonale ment , 

 leurs intersections ne sont autre chose que leurs lignes de cour- 

 bure respectives. 



185 ''''■ Soient S, Sj, S.^ trois courbes issues d'un même point 

 et résultant des intersections, deux à deux, de trois 

 surfaces SOS,, SiOSa, SgOS. On suppose que ces sur- 

 faces font partie d'un système triple de surfaces 

 orthogonales. Il s'ensuit, comme on vient de le voir, 

 que les courbes S, S,, S.^ sont, relativement aux 

 surfaces SOS,, S,OS.,, S.2OS et pour le pointiO , leurs 

 lignes de courbure respectives, c'est-à-dire les lignes 

 de courbure qui se croisent en ce point et qui sont, en général , au 

 nombre de deux pour chacune de ces surfaces. 



Donnons-nous les modules des courbures affectées en par les 

 sections principales et désignons-les respectivement, parW et ^1 

 pour la surface SOSj; par W, et ^ç, pour la surface S^OSa; par y>\ 

 et :c pour la surface S^OS, les indices étant les mêmes pour chacun 

 de ces modules que pour celle des courbes S, S,, S^ qui touclie 

 en la section principale correspondante. 



Menons par le point une droite quelconque OB, supposée lixe, 

 et nommons 



m un point mobile sortant du lieu à linstant que Ion 



considère; 



D une droite issue du point m et cntrainée par ce point; 



T, T,, T2 les tangentes en ni, soit aux courbes S, S,, S.,, soit 



aux sections principales qui touchent ces courbes en 0; 



a, aj, «2, les angles que font avec la droite OB les tangentes 



T T. T>- 



V, V,, Y2 les diverses valeurs affectées par la vitesse du point m 



selon qu'elle est dirigée suivant la première, la seconde 



ou la dernière des tangentes T, T,, T2. 



Cela posé, imaginons d'abord que le point m sorte du lieu en 



glissant sur la surface S.OS, et assujettissons la droite I) à lestcr 



