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Quelles que soient les transformées i, l\ elles ont respeetire- 

 ment mêmes longueurs que les lignes données S, S'. 



Lorsque les lignes S, ^' se coupent sons un angle quelconque , 

 leurs transformées 2, 2' se coupent sous ce même angle. 



Lorsque la ligne S se ferme en revenant sur elle-même, de ma- 

 nière à couper deux fois les mêmes génératrices reclilignes, la 

 transformée 2 remplit ces mêmes conditions. On voit, déplus, 

 que les aires circonscrites, départ et d'autre, sur les surfaces 

 correspondantes sont superposables par voie de développement et 

 d'enveloppement. Elles ont donc nécessairement même étendue. 



208. Reportons-nous aux notations du n" 192, page 475, et 

 supposons qu'il s'agisse d'une surface A, réglée et développable. 



La direction du plan qui touche la surface A, en un point quel- 

 conque m, est déterminée par les valeurs que prennent, en ce point, 

 les dérivées partielles p et q. On sait, d'ailleurs, que ce plan reste 

 le même pour toute l'étendue de la génératrice rectiligne menée 

 par le point m. Il s'ensuit que l'on a, poiir tous les points situés 

 stir une même génératrice quelconque rectiligne, 



p = cons'% q = cons'% 



ou, ce qui revient au même, 



dp = rdx -4- sdy = o, dq = sdx -+- tdy = o. 



dy r s 



dx s t 



De là résulte, 



(1) 



et, par suite, 



(2) rt-s^=o. 



L'équation (I). où l'on peut remplacer les vitesses dx et dy par 

 les segments x' — x , cl y' — y qui leur correspondent respecti- 

 vement, est l'équation de la génératrice menée par le point m 

 et projetée dans le plan des xy. Cela revient à dire, en d'autres 



