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 CHAPITRE \n. 



THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES LIGINES GÉODÉSIQLES. 



Déjimtimi et propriétés fondcmientales. 



209. On désigne sous le nom do lignes cjéodésifjues les lignes 

 d'une surface en cliaque point desquelles le plan osculateur est 

 normal à cette surface. Une propriété remarquable caractérise les 

 lignes géodésiques. Elle consiste en ce que ces lignes sont celles 

 qui déterminent, sur la surface, le plus court chemin d'un point 

 à un autre. Démontrons d'abord cette propriété. 



Soient S une ligne quelconque; m un point su[)posé mobile sur 

 la ligne S ; D une droite entraînée par le point m et assujettie à 

 rester perpendiculaire à la ligne S; n un point supposé fixe sur la 

 droite D et, par conséquent, tel que la distance tiiu demeure in- 

 variable. 



Si nous considérons le point ni au sortir d'une position quel- 

 conque déterminée, il est visible ({u'ii communique sa vitesse 

 actuelle à tous les i)oints de la droite D et que ceux-ci sojit ani- 

 més, en outre, de la >itesse qu'ils empruntent à la rotation de 

 cette droite autour du point )n. Les vitesses qui se transmettent 

 ainsi au point n sont toutes normales à la droite D. 11 en est donc 

 de même de leur résultante. De là se déduit, en premier lieu, la 

 conclusion suivante: 



Quelle que soit la rotation de la droite D autour de la tangente 

 en m à la ligne S , le Heu des points n est une Irajextoire ortho- 

 gonale des positions successives de la droite D. 



Considérons la droite D dans l'ensemble de ses positions succes- 

 sives. Cela revient à considérer une suite continue de droites D, 

 toutes perpendiculaires à la ligne S, ou, plus simplement encore, 

 la surface réglée (fue ces droites déterminent comme lieu de leurs 

 })o.sitions sinmltanccs. Soil B cette surface. 



