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Imaginons (|uc les droites D se nienvenl tontes à la lois, cha- 

 cune d'elles tournant autour de son point »/, où elle coupe la 

 ligne S, et restant perpendiculaire à la tangente en ce point. La 

 surface B chnngera de position et, généralement aussi, de forme. 

 Dans tous les cas la déduction précédente ne cessera pas d'être 

 applicable. Si donc on désigne par S' le lieu d'une suite continue 

 de points m' pris sur les droites D, d'un même côté et à égale 

 distance de la ligne S , il est visible que la ligne S' sera et restera 

 une trajectoire orthogonale des génératrices reclilignes de la sur- 

 face B. 



Concevons quà un instant quelconque, on fixe chacun des 

 points )n' dans la position qu'il occupe à ce même instant. Con- 

 cevons, en outre, que chacune des droites D continue à tourner 

 autour de son point m' comme elle tournait d'abord autour de 

 son point m, c'est-à-dire en restant perpendiculaire en on' à la 

 ligne S', au lieu de l'être en })i à la ligne S. La déduction précé- 

 dente ne cessera pas encore d'être applicable. Si donc on désigne 

 par S" une suite continue de points ni" pris sur les droites D au 

 delà et à égale distance de la ligne S', il est visible que la ligne S" 

 sera et restera une trajectoire orthogonale des génératiices recli- 

 lignes de la surface B. 



Cela posé, considérons la ligne S comme étant tracée sur une 

 surface quelconque A, et représentons-nous, pour chaque point 

 de cette ligne, la ligne géodésique issue de ce point perpendicu- 

 lairement à la ligne S. Si ces lignes géodésiques sont toutes décrites 

 simultanément par autant de points partant ensemble de la ligne 

 S et animés d'une vitesse égale en grandeur pour chacun d'eux, 

 il est aisé de voir que les directrices de ces points réalisent les 

 conditions supposées remplies tout à l'heure par les droites D *. 



' Les lignes géodésiques sont caractérisées par la condition qu'elles rem- 

 plissent d'avoir, en chaque point, leur plan osculateur normal à la surface A. 

 Il s'ensuit que la directrice du point qui décrit une ligne géodésique tourne 

 dajis le plan mené par la normale à la surface et par la tangente à cette ligne. 

 L'axe qui correspond à cette lolalion est dirigé, en conséquence, suivant 

 la tangente menée par le point décrivant perpendiculairement à la ligne dé- 

 crite. 



