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La seule difrérence eoiisisle en ce qu'au lieu de laisser entre elles 

 certains intervalles, les lignes S, S', S", etc., se succèdent d'une 

 manière continue, chacune d'elles étant le lieu des centres autour 

 desquels les directrices des points décrivants tournent toutes en- 

 semble à un certain instant. Les vitesses des points décrivants 

 sont par hypothèse toutes égales en grandeur. Il s'ensuit que les 

 points qui deviennent à un instant quelconque les centres simul- 

 tanés de rotation des directrices sont situés primitivement sur 

 ces droites à distance égale de la ligne S. C'est, d'ailleurs, lorsqu'ils 

 s'appliquent sur la surface A qu'ils deviennent centres de rotation 

 et qu'ils se fixent dans la position qu'ils occupent. Il suit de laque 

 le lieu déterminé par leur ensemble est une trajectoire orthogo- 

 nale des lignes géodésiques qu ils décrivent, et, en outre, que les 

 arcs de ces lignes compris entre cette trajectoire et la ligne S sont 

 tous égaux entre eux. 



De là résulte un théorème important, démontré, pensons-nous, 

 pour la première fois par M. Gauss et formulé, comme il suit, par 

 M. Ossian Bonnet *. 



« Si sur une surface on conçoit une courbe quelconque et que, 

 » des différents points de cette courbe, l'on mène à angle droit 

 y> une série de lignes géodésiques de même longueur, la courbe 

 » qui joindra les extrémités de ces lignes cou})era chacune d'elles 

 » à angle droit. » 



Ce théorème s'étend de lui-même au cas dune suite continue de 

 lignes géodésiques toutes issues dun même point. On le recon- 

 naît, soit en considérant ce point comme un lieu de concours et 

 renversant ainsi les termes de la question, soit en répétant pour 

 ce cas la démonstration précédente, soit encore en prenant une 

 courbe fermée pour lieu de départ des lignes géodésiques et res- 

 serrant cette courbe de manière à n'en faire plus qu'un point. 



210. Soient m et n deux points situés sur une surface A. Parmi 

 les lignes géodésiques issues du point m, il en est une qui passe 

 par le point n; soit man cette ligne. Si nous considérons les tra- 

 jectoires orthogonales des lignes géodésiques issues du point m et 



* Voir le mémoire déjà cité, pajje 27. 



