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une eouijjc (lUck'oïKjuc nia'n tracée sur la sujface A par les points 

 ni et Hy il est évident que les intersections de la courbe ma'n 

 avec ces trajectoires ne se feront pas toujours à angle droit. 



Cela posé, concevons deux points mobiles f'.,/^' partant ensemble 

 FUj. 80. <^bi lieu ïn , et assujettis à décrire simultanément , l'un 

 la courbe niun , l'autre la courbe ma'n, le premier avec 

 une vitesse v constante en grandeur, le second avec une 

 vitesse n. 



Décomj)osons la vitesse u en deux autres, Tune u' di- 

 rigée normalement à celle des trajectoires orthogonales ({ue le 

 point y.' IVancbil à l'instant que l'on considère, l'autre u" dirigée 

 suivant la tangente en v.' à celte jnème trajectoire. 



La vitesse u pouvant être (}uelcon(iue, supposons-la déterminée 

 de manière à ce que le point u' se trouve à chaque instant sur 

 celle des trajectoires orthogonales que le point ^c rencontre à ce 

 même instant. Pour qu'il en soit ainsi, alors que l'écart qui s'éta- 

 blit entre les trajectoires orthogonales successives commence en 

 chaque point avec une égale vitesse, il faut nécessairement et 

 évidemment que la composante u' de la vitesse h soit constam- 

 ment égale à la vitesse r. 



La composante ii' étant et restant égale à la >itesse v , il s'en- 

 suit que partout où la courbe nia'n coupe obliquement les trajec- 

 toires orthogonales mentioiniées ci-dessus, la vitesse u l'emporte 

 sur la vitesse v, et que, nulle part, d'ailleurs, elle ne peut être 

 moindre '. Ce n'est donc qu'en vertu d'une vitesse toujours supé- 

 rieure, ou tantôt égale et tantôt supérieure à celle du point /^, que 

 le point y.' peut décrire la courbe ma'n en même temps que le 

 point y. décrit la courbe man. De là résultent immédiatement les 

 conséquences suivantes : 



1" La courbe man est plus iOurte (jue la courba jna'n. 

 2" Le plus court chemin cViin point à un autre sur une sur- 

 face est la ligne (jèodésique passant par ces deux points. 



" Onagéiiéralemc)ili^=^-M'^-i-w"^^^^v^-i-M"^. La vitesse «me peut donc 

 être iiit'eiiouie à r, et elle est nécessairement plus grande pour Ions les [toinls 

 où rubliiiuilé det; inleibcelions implique l'exiblenee de la eomi)osanle u". 



