( o20 ) 



On pont observer, (l'iin autre côté, que le plan P' ne eesse pas 

 (le touelier la surface A le long de la ligne S', et que sa earaetéris- 

 stique, autrement dit son axe instantané de rotation, se confond 

 à chaque instant avec la tangente conjuguée correspondante. Le 

 lieu de ces axes ou , ce qui revient au même , de ces caractéristi- 

 ques est évidemment une surface développable sur laquelle la 

 ligne S' est située et qui a pour chacun des points de cette ligne 

 même plan tangent que la surface A. Soit A, cette seconde surface. 

 On peut la substituer à la première sans qu'il en résulte aucun 

 changement dans la ligne S' et dans le plan tangent à considérer 

 pour chacun des points de cette ligne. Il s'ensuit que cette substi- 

 tution n'altère en rien les quantités représentées ci-dessus par 

 /j' et par 9, ni, par conséquent non plus, la courbure géodésique 

 de la ligne S'. On peut dire ainsi de la courbure géodésique d'une 

 ligne quelconque S' tracée sur une surface A, qu'elle est la cour- 

 bure de la transformée de cette ligne dans le développement de 

 la surface A,. 



Ces premiers résultats peuvent se résumer comme il suit : 

 Soient une ligne S' tracée sur une surface A; m un point de cette 

 ligne; S" la projection orthogonale de la ligne S' sur le plan qui 

 touche en ni la surface A. Considérons le lieu des caractéristiques 

 qui correspondent au mouvement du plan tangent, lorsque le 

 point m devient mobile et décrit la ligne S'. Ce lieu est une sur- 

 face développable. Désignons par A, cette surface et par Sj la 

 transformée de la ligne S' dans le développement de la surface A,. 

 Cela posé, voici l'énoncé dont il s'agit : 



La courbure géodésique de la ligne S' est la même en chaque 

 point sur chacune des deux surfaces A, A,. Elle est représentée en 

 qraudenr par la courbure qîi'affecte au point que l'on considère 

 chacune dos deux lignes S", S,. 



