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 Il vient donc, en subsliluant , 



sm t. 



L'équation (3), obtenue ainsi très-simplement, est l'étjuatiou 

 générale des lignes géodésigues tracées sur une surface guelcon- 

 gue, les coordonnées étant curvilignes et formant les unes par rap- 

 j)ort aux autres un double système de trajectoires orthogonales. 



Application aux surfaces de révolution. 



^17. 8'agit-il eii particulier des surfaces de révolution? Lors- 

 (pi'on prend les méridiens pour lignes des ordonnées et les paral- 

 lèles pour lignes des abscisses , l'équation (5) du n" 210 se réduit à 



<" • shR'l- 



Il est clair, en elfet, (pie les méridiens sont des lignes géodési- 

 ques et. qu'en consé({uence, on doit, ainsi qu'oii la vu tout à 

 riieure })our la courbe S,, supprimer le terme où le module 

 —^ mterMcnt comme iacleui'. 



Désignons par r le rayon du parallèle représenté par p dans 

 l'équation (4). Il est aisé de Noir que l'on a, généralement, 



dr 



cos 6 = — 5 

 dy 



et, remplaçant dj paj' la valeur égale ds . sin i (voir n" 21(»), 



eos 6 = 



ds . sin i 

 Cette valeur substituée dans Téquation (4) donne 



(5). = . . . . . dt.igi-^ — » 



