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bien, et même plus slmjdement qu'nnx lignes géodésiques de l'el- 

 lipsoïde et de riiyperboloïde. Supposons, en effet, que la ligne S, 

 issue du point m suivant la direction ma\ soit une ligne de eour- 

 l)ure. Il s'ensuit que la ligne S' est partout normale aux génératrices 

 rectilignes du cône A' et que, par conséquent, le rayon vecteur 

 oh est de grandeur constante*. De là résulte ce premier énoncé: 



Étanl donné sur un ellipsoïde un point quelconque m d'une 

 h'g)ie de courbure S, si l'on mène deux demi-diamètres respecti- 

 vement parallèles y l'un à la tangente en m à la ligne S, l'autre 

 à la tangente conjuguée , ces deux demi-diamètres sont rectangu- 

 laires et le second est de grandeur constante. 



Le reste s'achève comme au numéro précédent. On peut, en 

 conséquence, énoncer aussi cet autre théorème : 



Étant donné sur un ellipso'ide un point ([uelconque m d'une 

 ligne de courbure S, le produit du diamètre parcdlèle à la tan- 

 gente en m à la ligne S pr/r la perpendiculaire abaissée du centre 

 sur le plan tangent en m est const((nf pour tous les points de 

 cette même ligne. 



Ces déductions sont, ainsi qu'on le voit, d une grande simplicité. 



Polaires conjuguées. 



221. Reprenons les données du n" 219 à cela près qu'au lieu 

 de ranger la ligne S parmi les lignes géodésiques, nous la suppo- 

 sions tout à fait quelconque, sous la seule condition d'appartenir 

 à lune ou l'autre des surfaces du second degré qui sont pourvues 

 d'un centre. Quelle que soit la ligne S, elle ne cesse pas de déter- 

 miner, ainsi qu'on la vu, la ligne correspondante S'. De là résulte 



* La coiistruclion iiuliciaéc dans la dernière note, page 532, [)Our le tracé 

 d'une ligne yéodesiiine devient plus simple encore lorsqu'il s'agit du tracé d'une 

 ligne de courlmre. Dans ce cas, en ellet, la ligne S' n'est autie chose (pie l'inter- 

 section de l'ellipsoïde par une sphère concentrique de rayon connu. On déduit 

 aiséniejd de là l'équrition des lignes de courbure. 



