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 les détails qui précèdent impliquant la conclusion suivante : * 



L'équation (5) jjeî/f être considérée comme exprimant iVune 

 manière générale la condition nécessaire et suffisante pour Cfue 

 deux systèmes de lignes tracées sur une surface soient orthogo- 

 naiix. 



Reprenons l'équation (4). En opérant sur elle, comme nous 

 l'avons fait sur l'équation (2), par voie d'inversion ou de récipro- 

 cité, on en déduil immédiatement 



rj.ds 



^, 



, ^ cos 9 cos- c? / 



P p^ ds 



On peut, d'ailleurs, parvenir à ce même résultat en observant 

 que, du moment où l'orthogonalilé persiste, l'équation (2) sub- 

 siste d'une manière générale, et peut, en conséquence, être dif- 

 férenciée par rapport à la caractéristique o. Il n'est pas besoin de 

 faire ici ce calcul. On reconnaît à priori qu'il conduirait nécessai- 

 rement à l'équation (G). 



La combinaison des équations (1 ) et (6) fournit la relation 



dJ). ê,ds dsM 



(7) d. 4-^. = 



^ ^ ds (?>. R.R' 



On voit, d'ailleurs, d'après ce qui précède, que cette relation 

 subsiste j en général , pour deux systèmes cjuelconq\ies de lignes 

 tracées sur une surface, sous la seule condition que les lignes 

 de l'un de ces systèines soient les trajectoires orthogonales des 

 autres. 



Su])posons que, disposant des deux variables s et /, on assujet- 

 tisse l'une et l'autre à croître ou décroître uniformément. Dans 

 cette hypothèse, les vitesses ds et ^x deviennent constantes; et 



* L'équation (5) et la conclusion qu'elle implique se trouvent dans le mé- 

 moire déjàcilé de M. Ossian Bonnet (pages 55 et TU). 



