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grandes qirellcs présentent au point de vue des opérations indi- 

 quées dans leurs seconds membres. Prenons pour exemple le eas 

 où le radical V^l -+- p^-i- (f dépendrait exclusivement de la va- 

 riable y. L'équation (0) devrait, en général, être préférée, vu 

 qu'elle se réduit immédiatement à la forme plus simple 



.y-y-l^y 



^K = ^yM,, àxVl + p^ h- cf. 



Le contraire aurait lieu si le radical Kl -i-p^-i- (y- ne dépen- 

 dait que de l'abscisse x. On atteindrait plus aisément le but en 

 recourant à l'équation (o) et posant, comme on le peut alors, 



X-}- Ax 



A A = AX.3I, A?/ ]/{-{- p^ H- (f. 



255. Montrons par quelques applications le parti qu'on peut 

 tirer, en certains cas, de tout ce qui précède concernant la qua- 

 drature des aires courbes. 



Considérons d'abord les surfaces développables. Il est visible « 

 priori qu'il existe une infinité de manières de tracer sur ces sur- 

 faces un double système de lignes géodésiques dont les unes soient 

 les trajectoires ortliogonales des autres. On voit de même qu'en 

 prenant pour génératrices les lignes de l'un de ces systèmes, et 

 pour directrice l'une de leurs trajectoires orthogonales j. on a, 

 comme dans le cas des aires planes , 



aA= ^xM,^ y. 



La seule différence consiste en ce que, au lieu d'être rectilignes, 

 les segments représentés par y pour les génératrices, et par ax 

 pour la directrice, sont généralement courbes. 



On parvient au même résultat en partant de l'équation (4) du 

 n° 251, page 615. On peut, en outre, faire l'observation suivante: 



Il suffît que les génératrices soient des lignes géodésiques pour 

 qu'elles se rectifient dans le développement. 



Cela posé, il est aisé de voir que le théorème du n" 67, page 185, 

 comporte l'extension suivante : 



La différentielk de Vuire engendrée par vn segment de ligne 



