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Cela pose, prenons la somme des prismes droits qui correspon- 

 dent à une seule et même position de la section A, à une seule et 

 même valeur de l'écart dx, à la suite des écarts dy. Si l'on dé- 

 signe par Zq, Zi, Z.2, etc., les différentes valeurs affectées par l'or- 

 donnée z aux points de division uniformément répartis sur 

 l'étendue totale d'un accroissement quelconque ^y, on a pour 

 cette somme 



;So -*- ^1 -*- ^tc. -^^n-i 

 (G). dxAly. [Zo -\-Zi-\- etc. h- z„_,] ~dx . ^y . 



Il est visible, en effet, que le nombre des divisions étant mar- 

 qué par n, raccroissement total ^y a pour valeur le produit n.dy. 



Attribuons à l'accroissement quelconque ^y la détermination 

 qu'il acquiert comme projection de l'aire A sur le plan des xy. En 

 vertu du tliéorème du n" 269, page 646, la somme exprimée par 

 l'équation (6) a pour limite le volume de la tranche d^N. De là 

 résulte, en passant à la limite, 



(7) . . . . d,N^X.dx = dx.^y^Ç^'{z). 



Faisons la somme des tranches en supposant qu'elles aient 

 toutes même épaisseur dx et qu'elles soient au nombre de // })Our 

 un intervalle quelconque déterminé ^x. En désignant par Ag, A,, 

 A2, etc., les valeurs affectées par la section A et correspondantes 

 aux divisions successives de l'intervalle ax, on a pour cette 

 somme 



Ao-4- Al -4- etc. -+- A„_, 

 (8). dx [K^ -h Aj K etc. -4- A„_iJ = \x. • 



En vertu du théorème du n" 269, cette somme a pour limite le 

 volume total exprimé par ^N pour un écart quelconque \x. De là 

 résulte^ en passant à la limite, 



(9) aV-= \xM]^^' X, 



