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Supposons que rellipsoïdc soil donné. Il en est de mènie des 

 (piantitcfs p, h, r. Les quantités p., v restent néanmoins indétermi- 

 nées et, si l'on en dispose de manière à les faire varier, soit ensem- 

 ble, soit séparément, on réalise trois séries de surfaees qui se 

 eou])ent toujours et partout à angle droit. Coneluons, eonformé- 

 ment au théorème de 31. Dupin sur les surfaces orthogonales, 

 (voir n" 185, page 4al), que les intersections de l'ellipsoïde (1) 

 avec chacun des hyperholoïdes (2) et (3) constituent, par rapport 

 à l'ellipsoïde, les deux systèmes de ses lignes de courhure. Préci- 

 sons davantage. Lorsqu'on se donne un point m pris sur l'ellip- 

 soïde, on connaît les trois coordonnées de ce point. En transpor- 

 tant les valeurs de ces coordonnées dans les équations (2) et (3), 

 on détermine les valeurs correspondantes des quantités p- et v. De 

 là résulte la détermination complète des deux hyperholoïdes 

 représentés par les équations (2) et (3) et, par conséquent aussi, 

 celle de leurs intersections avec l'ellipsoïde. Ces deux intersec- 

 tions ])assent par le point m et constituent, par rapport à l'ellip- 

 soïde, les deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. Ces 

 lignes étant prises pour coordonnées comme au n" '2^2^, on voit 



Snl)slituons aux quantités œ^, //^ les valeurs foumies par les éqnalioiis (1). 

 L'équation (i2) devient, d'abord, 



1/' 

 ou, a|>rès réduction , 



fl-. ^ 1 



{P'-C'){l^'-C') 





11 suit de là que l'équation (2) est satisfaite indéi)endaniment de toute valeur 

 attrilniée à la variable :î, c'est-à-dire pour tous les points de l'intersection 

 considérée. Le même calcul s'appliquanl à deux quelconques des trois sur- 

 faces dont il s'agit, il en résulte que partout oii elles se coupent c'est à angle 

 droit. 



