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5" Deux arcs quelconques conjugués entre eux el situés respec- 

 tivement , l'un sur la surface A, l'autre siir la surface A', ont 

 même courbure géodésique en chacun de leurs points conjugués. 



Ces premières déductions sont en quelque sorte évidentes. 

 Démonirons-Ies néanmoins. Nous dirons ensuite quelles sont les 

 autres. 



Il n'existe, en général, entre deux points d'une même surface 

 qu'une ligne géodésique. Si l'arc MN est la ligne géodésique allant 

 du point 31 au point N sur la surface A, il est le chemin le plus 

 court qu'on puisse y tracer entre ces deux points. L'arc M'N' étant 

 le conjugué de l'arc MN a, par définition, même longueur. On 

 conclut aisément de là que l'arc M'N' est sur la surface A' le che- 

 min le plus court du point M' au point N' et qu'il se confond, en 

 jconséquence, avec l'arc géodésique correspondant. Le premier 

 des trois théorèmes énoncés ci- dessus se trouve ainsi démontré. 

 Passons au second. 



Les lignes OM, OS étant tracées sur la surface A et supposées 

 quelconques, concevons deux points mobiles uj, a^ assujettis à les 

 décrire, et sortant du lieu à l'instant que l'on considère. Soit 

 Vi la vitesse actuelle du premier de ces points et v.^ celle du se- 

 cond; u leur vitesse d'écart à l'origine de leur déplacement; a, 

 l'angle des tangentes en aux lignes OM, ON. On a évidem- 

 ment 



11^ =1 v] -+■ V'o — "2t\V^2 cos a. 



Supposons, toutes choses égales d'ailleurs, que l'on substitue 

 aux lignes OM, ON leurs conjuguées O'M', O'N'. En désignant ici 

 par u' et a' les quantités désignées tout à l'heure par u et « , on a , 

 comme ci-dessus, 



u"^z=i d"; -h i-\ — 2vii'o cos a'. 



Mais, par définition , et comme conséquence directe de l'égalité 

 qui subsiste, de part et d'autre, entre les arcs conjugués, les vi- 

 tesses u, u' sont nécessairement égales. Il faut donc aussi que l'on 

 ait 



