{ D\}0 ) 



L'ëgalilé des angles a, a' justifie la seeoiitle des pioposiliuiis 

 éiioiieées plus liaul. On peut aussi la considérer eoinnie impliquant 

 la troisième. Quoi qu'il en soit, procédons pour celle-ci, comme 

 pour les deux autres, en la traitant directement. 



Soit O^r un arc quelconque donné sur la surface A. Représen- 

 tons-nous le système des lignes géodésiques issues à angle; droit 

 des différents points de cet arc, et considérons ce même arc comme 

 une des trajectoires orthogonales de ce système. On a, conformé- 

 ment à l'équation (3) du n" ^i4, 



cos 6 



(l) ^'v = — V rJ). 



p 



Substituons à l'arc OM, son conjugué 0'3I' et répétons i)our ce 

 second arc ce que nous avons fait pour le j)rcmier. En désignant 

 par v\ y, B' et p' les quantités désignées tout à l'heure par î;, ) , 9 

 et p, on a, comme ci-dessus . 



. cos ù' 



(^) ^v-= — V' y-r}ï'. 



P - 



Égalons entre elles, d une part, les vitesses u, <;', d'autre part, 

 les vitesses cJ/ , ni' . L'équation (2) devient 



^ , cos h' 



(5) Jv = — V — — ^\. 



P 



On voit, d'ailleurs aisément, d'après ce qui précède, que les 

 trajectoires orthogonales qui se correspondent sur les surfaces 

 A, A' sont conjuguées entre elles et qu'elles impliquent, en consé- 

 quence, pour chaque point de l'une et son conjugué sur l'autre, 

 l'équation générale 



(4) r}v'=,^V. 



Lu simultanéité des équations (1), (3), (4), donne, pour chaque 

 point de l'arc OM et pour son conjugué sur l'arc O'M', 



, ^ cos cos e' 



(5) — -— • 



