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Ue là résulle iiiiiiiédialenient la dernière des trois i)ro])osilioiis 

 formulées ci-dessus. 



24;2. Poursuivons le cours des déductions précédentes et restons, 

 à cet effet, dans les conditions établies pour la démonstration du 

 dernier théorème. 



Lorsqu'on se donne l'arc OM, son conjugué O'iM', et le double 

 système des lignes géodésiqucs issues à angle droit des différents 

 points de ces arcs, il est visible que les trajectoires orthogonales 

 de ces lignes se correspondent de part et d'autre, de manière à 

 Ibrmerune double série d'arcs équidistants, conjugués deux à deux 

 et offrant en chacun de leurs points conjugués même courbure 

 géodésique. 



Cela posé, si l'on part de l'équation (1:2) du n" 2:2j, page JJiU, 



cos ô 



p 



rcos^o I -1 



L p' iiirj 



et qu on rapi)liquc à deux quelconques de ces trajectoires conju- 

 guées, l'identité qui subsiste, de part et d'autre, entre les quan- 



\ , , . . r COS ^ COS 9 ^, . T ,, 



tites correspondanlesexprnneespar — — - 5 o ___ ^ op, imphquc celle 

 du produit des rayons de courbure principaux R, W. 



La conséquence à laquelle nous venons de parvenir est à la fois 

 curieuse et importante. Le théorème qui en résulte est du à 

 M. Gauss. On i)cut l'énoncer dans les termes suivants : 



Lorsque deux surfaces sont applicables rune sur Vautre sans 

 dcchirure ni dupUcainrc , le produit de leurs rayons de cour- 

 fyure principaux est le uicmc en deux quelconques de leurs points 

 conjuijuês. 



Nous avons vu au n' 204, page 500, qu'en désignant par m un 

 point d'une surface A, et par R, R' les rayons de courbure prin- 

 cipaux correspondants, on est convenu de considérer la quantité 

 ;-~r- , comme exprimant la courbure de la surface A au |)oinl m. 

 On peut doni. dire aUi.oi et plus sinjplcmcnl: 



