( o98 ) 



Cette explication donnée, rappelons-nons et ne perdons pns de 

 vue que, par liypotlicse, les surfaces A , A' ont même courbure en 

 leurs points conjugués. 



Soit Mm une trajectoire quelconque orthogonale des lignes géo- 

 désiqnes issues d»i point sur la surface A. Soit Mm' sa conju- 

 guée sur la surface A' *. 



Supposons que les arcs conjugués de ces deux trajectoires aient 

 même longueur, et, pour chacun de leurs points conjugués, même 

 courbure géodésique. 



En appliquant au point m, pour la courbe Mm, et à son con- 

 jugué m', pour la courbe M'm' l'équation (i^) du n" 2:2, page oiî), 



ces 6 



4 



P L p 



[COS'^0 \ 1 



et l'équation (2) du n" !2;27, page 554, 



CCS e 



on reconnaît immédiatement que les conditions supposées rem- 

 plies par les trajectoires orthogonales Mm, M'm' s'étendent, de 

 proche en proche , à toutes les courbes qui font partie de leur 

 système, et qui sont comme elles, par rapport aux lignes géodé- 

 siques issues des points et 0', des trajectoires orthogonales con- 

 juguées. Il est clair, en effet, que légalité primitive des arcs con- 

 jugués et celle de leur courbure géodésique se maintient de part 

 et d'autre, puisqu'il y a identité dans les vitesses avec lesquelles 

 ces arcs et ces courbures croissent ou décroissent simultanément 

 pour un même déplacement effectué suivant les lignes géodésiques 

 correspondantes. 



Observons ici que pour réaliser l'hypothèse admise, en ce qui 



On sait que les segments interceptés sur les lignes géodésiques par deux 

 quelconques de leurs trajectoires orthogonales sont tous égaux entre eux. Jl 

 en résulte que l'arc Mm' conjugué, par hypothèse, avec l'arc Mm est une 

 des trajectoires orthogonales dos lignes géodésiques issues du point 0' sur la 

 surface A'. 



